Nacido en una familia pobre, sus primeros contactos con el ajedrez se produjeron observando a los parroquianos de un bar cercano a su casa. Recién a los once años aprende a jugar, y a falta de trebejos (y dinero para comprarlos) se fabrica los propios con corchos de botellas de vino. En este sentido, sus inicios se parecen mucho a los de su ilustre contemporåneo, el gran maestro estonio Paul Keres.
Sus primeros Ă©xitos en el ajedrez llegan en 1938, cuando gana el campeonato del Club de Ajedrez de Belgrado. Al estallar la Segunda Guerra Mundial, y su actividad (como la de muchos otros Grandes Maestros Internacionales) se interrumpe. GligoriÄ se une a los partisanos que resisten la invasiĂłn nazi.
DespuĂ©s de la guerra GligoriÄ, trabajĂł varios años como periodista y organizador de torneos de ajedrez. ContinuĂł su progreso como jugador, y en 1947 ganĂł su primer torneo internacional importante en Varsovia, delante del futuro campeĂłn mundial Vasili Smyslov. La FIDE le otorgĂł los tĂtulos de Maestro Internacional (MI) en 1950 y de Gran Maestro (GM) en 1951, lo que finalmente completĂł su transicĂłn a ajedrecista profesional de tiempo completo. ContinuĂł activo jugando torneos hasta bien entrados los sesenta años de edad.
Fallece el 14 de agosto de 2012, a la edad de 89 años, en el Centro de Emergencias de Belgrado como consecuencia de un accidente cerebrovascular.